Beregningsmetoden anvendes til armerede betonbjælker, hvilket inkluderer:

• Overliggere i væg
• Vægge der regnes som bjælker (”Calculate beam section forces” sat til ”Yes”)

Det er en forudsætning for beregningerne at der anvendes en betonstyrke på 50 MPa eller under.

Alle huller i væggene løbes igennem. Kun 400 mm brede huller eller derover betragtes.

Hvis vægfeltet mellem oversiden af et hul og enten oversiden af vægelementet eller undersiden af et tilpas stort* hul har en højde der er mindre end bjælkelængden (=hulbredden), detekteres en bjælke.

* Tilpas stort hul: Et hul som måler mere end 150 mm vandret eller lodret, eller mere end 20% af den samlede bjælkelængde eller -højde.

Snitkræfter:

• M = Moment (kNm)
• V = Forskydningskraft (kN)
• N = Normalkraft (kN)

Snitkræfter bestemmes gennem integration af indre spændinger og altså ikke ud fra ydre laster.

Etagekrydsudstøbning over bjælke (modelleret som væg) inkluderes i bestemmelse af snitkræfter.

Moment regnes om center-aksen, altså y = (h_{bjælke} + h_{etagekryds}) / 2 og derfor ikke nødvendigvis om neutralaksen.

Tilfælde hvor kapacitet ikke beregnes

Kapaciteter beregnes ikke hvis et vægelement der regnes som bjælke indeholder et hul som måler mere end 20% af den samlede bjælkelængde eller -højde.

Der gives i rapporten en advarsel om at der er huller i bjælken og at de ikke inkluderes i beregning af kapaciteter, hvis hullerne er mindre end i tilfældene beskrevet herover. Der advares ligeledes om at momentkurven regnes om center-aksen.

Brand på over- og underside

Det detekteres om en bjælke påvirkes af brand på over- og underside. Hvis bare en lille del af den pågældende rand er fri, regnes den brandpåvirket. I detektionen betragtes strækninger på randen med tilstødende vægge, huller og etagekryds.

Både positiv og negativ momentkapacitet bestemmes.

Momentkapacitet bestemmes ud fra bjælketværsnittet i midten af bjælken, altså ved X = L/2.

Beregningen svarer til metoden beskrevet i Betonelementbyggeriers statik afsnit 2.1.3 og 6.1.1 og anvendt i Betonelement-Foreningens beregningsmodul Bjælkeberegning, hvor momentkapaciteten findes gennem en iterativ beregning, hvor kanttøjningen gennem et antal iterationer forøges lineært op til brudtøjningen.

Der tages ikke højde for krybning og svind i bjælken.

Normalkraften inkluderes i beregning af momentkapaciteten.

Betonmateriale

Som angivet i tabel 3.1 i DS/EN 1992-1-1:

\varepsilon_{cu} = 0,0035

\varepsilon_{c1} = 0,0007 \cdot f_{cm}^{0,31}

f_{cm} = f_{ck} + 8 MPa

E_{cm} = 22000 \cdot \left[ \frac{f_{cm}}{10} \right]^{0,3}

med E_{cd} og f_{cm} i MPa

E_{cd} = \frac{E_{cm}}{\gamma_c}

Der opereres med en ikke-lineær arbejdslinje som beskrevet i afsnit 3.1.5 (1) i DS/EN 1992-1-1:

\frac{\sigma_c}{f_{cm}} = \frac{k \eta-\eta^2}{1+(k-2)\eta}

hvor

\eta = \varepsilon_c / \varepsilon_{c1}

\varepsilon_{c1} er tøjningen ved højeste spænding

k = 1,05 \cdot E_{cm} \cdot \varepsilon_{c1} / f_{cm}

Dog beregnes k med f_{ck} i stedet for f_{cm}:

k = 1,05 \cdot \frac{E_{cm} \cdot \varepsilon_{c1}}{f_{ck}}

Iterationsprocessen

1. Først vælges en værdi for kanttøjningen \varepsilon_0.
2. Herefter bestemmes x ud fra projektionsligningen.
3. Tværsnittets samlede momentkapacitet M_{Rd} fås af momentligningen om tværsnittets nullinje.
4. En ny værdi af kanttøjningen vælges og det undersøges om resultatet for M_{Rd} er gunstigere.

1: Kanttøjningen

Kanttøjningen \varepsilon_0 bestemmes:

\varepsilon_0 = \frac{i}{it} \varepsilon_{cu}

hvor i angiver iterationsnummeret og it antallet af iterationer. I sidste iteration er kanttøjningen \varepsilon_{cu}.

\zeta bestemmes:

Oftest, og i tilfælde hvor normalkraften er 0, er \zeta = 0.

\zeta = \left\lbrace  
\begin{array}{ll}  
0 & \textrm{for } x \leq h \\  
\frac{x-h}{x} & \textrm{for } x > h \\  
\end{array} \right. 

2: Trykzonehøjden

Trykzonehøjden, = nullinjedybden x, bestemmes:

x = \frac{1}{2 A} \cdot \left( -B + \sqrt{B^2 - 4 A C} \right) 

hvor

A = f_{cd} \cdot b \cdot N_c'

B = N_{Ed} + \sum{b_j}

C = \sum{c_j}

hvor

N_{Ed} er normalkraften

N_c' = \frac{k}{2} \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_{c1}} \left(  1 - \zeta^2 + \frac{K_A - K_B}{K_B^3} \cdot \left\lbrace K_B^2 \cdot \left( 1 - \zeta^2 \right) + 2 K_B \cdot \left( 1 - \zeta \right) + 2 \ln \frac{1 - K_B}{1 - \zeta \cdot K_B} \right\rbrace \right)

b_j = \left\lbrace   
\begin{array}{ll}  
\varepsilon_0 \cdot A_{s,j} \cdot E_{s,j} & \textrm{hvis } 2 \cdot \sigma_{s,j,(i-1)} - \sigma_{s,j,(i-2)} < f_{yd} \\  
A_{s,j} \cdot f_{yd} & \textrm{hvis } 2 \cdot \sigma_{s,j,(i-1)} - \sigma_{s,j,(i-2)} \geq f_{yd} \\
\end{array}  
\right. 

c_j = \left\lbrace   
\begin{array}{ll}  
\left(h - y_{s,j}\right) \cdot \varepsilon_0 \cdot A_{s,j} \cdot E_{s,j} & \textrm{hvis } 2 \cdot \sigma_{s,j,(i-1)} - \sigma_{s,j,(i-2)} < f_{yd} \\  
0 & \textrm{hvis } 2 \cdot \sigma_{s,j,(i-1)} - \sigma_{s,j,(i-2)} \geq f_{yd} \\  
\end{array}  
\right.

hvor

K_A = \frac{\varepsilon_0}{k \cdot \varepsilon_{c1}}

K_B = \left( 2-k \right) \cdot \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_{c1}}

A_{s,j} og E_{s,j} er areal og E-modul for hvert lag, j, af hovedjern i bjælken.

y_{s,j} angiver afstand til center hovedjern fra bunden af bjælken (for positivt moment).

Herefter kan spændinger i hovedjern bestemmes:

\sigma_{s,j,i} = E_{s,j} \cdot \varepsilon_0 \cdot \frac{\left( h-x-y_{s,j} \right)}{x}

hvor

-f_{yd} \leq \sigma_{s,j,i} \leq f_{yd}

3: Momentkapaciteten

M_{Rd} = y_c' \cdot N_c + \sum y_{s,j}' \cdot N_{s,j}

hvor

y_c' = \frac{h}{2} - (t' - 1) \cdot x

N_c = N' \cdot x \cdot b 

y_{s,j}' = \frac{h}{2} - y_{s,j} 

N_{s,j} = \sigma_{s,j} \cdot A_{s,j} 

hvor

t' = \frac{N_c''}{N_c'} 

N_c'' = \frac{k}{3} \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_{c1}} \left( 1 - \zeta^3 - \frac{K_A - K_B}{2 K_B^4} \cdot \left\lbrace - 2 K_B^3 \cdot \left( 1 - \zeta^3 \right) - 3 K_B^2 \cdot \left( 1 - \zeta^2 \right) - 6 K_B \cdot \left( 1 - \zeta \right) - 6 \ln \frac{1 - K_B}{1 - \zeta \cdot K_B} \right\rbrace \right) 

4: Ny værdi for kanttøjning

Ny værdi for kanttøjning \varepsilon_0 og \zeta bestemmes. Se pkt. 1.

I brandtilfældet reduceres bjælketværsnittet, betonegenskaber og armeringsegenskaber som beskrevet i Brand generelt. Afstande måles fra kant bjælke minus skadet randzone \(a_z\). Følgende udtryk beregnes anderledes.

K_A = 2^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{\varepsilon_{c1}}{k \cdot \varepsilon_0} 

K_B = 3 \cdot \left( \frac{\varepsilon_{c1}}{\varepsilon_{0}} \right)^{2}

N_c' = \frac{K_B}{K_A} \left[ <br>\frac{1}{6} \left( \ln \frac{1-K_A+K_A^2}{\left( 1 + K_A \right)^2} - \ln \frac{\zeta^2 - K_A \cdot \zeta + K_A^2}{\left( \zeta + K_A \right)^2} \right) + \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan \frac{2-K_A}{\sqrt{3} \cdot K_A} - \arctan \frac{2 \zeta-K_A}{\sqrt{3} \cdot K_A} \right)<br>\right]

N_c'' = \frac{K_B}{3} \ln \frac{K_A^3 + 1}{K_A^3 + \zeta^3} 

Udnyttelsesgraden bestemmes som M_{Ed} / M_{Rd}.

Forskydningskapacitet bestemmes ud fra bjælketværsnittet i midten af bjælken, altså ved x = L/2.

Hvis en bjælke ikke indeholder lukkede bøjler, men kun har netarmering lodret, kan den implementerede beregning af forskydningskapacitet ikke anvendes. Derfor returneres en kapacitet på 0, en udnyttelsesgrad på -100% og der vises en advarsel i rapporten.

Hvis bjælken indeholder mere end én gruppe bøjler betragtes den der ligger i midten af bjælken.

Effektiv bredde

b_{eff} = \min (b, b')

hvor b' = 2 \cdot (b - 2 \cdot c')

I beregningerne anvendes den effektive bredde, b = b_{eff}.

Excentricitet fra last

Excentriciteten, e, anvendes i et led i beregningen af forskydningskapaciteten, hvor der tages højde for vridning.

Den resulterende excentricitet beregnes som en vægtet værdi, ift. linjelasternes resultanter.

En samlet kraft P_{tot} bestemmes som forskellen mellem største og mindste forskydningssnitkraft.

Kraften P_0 er last fra væg over bjælken, men inkluderer også egenvægt af bjælken selv og forskydningskraft fra vægfelter i hver bjælkeende. P_0 virker med vægelementets excentricitet e_0 og bestemmes som forskellen mellem P_{tot} og laster fra dæk og linjelaster der virker direkte på bjælken P_i:

P_0 = P_{tot} - \sum P_i

Direkte virkende dæklast P_i har to excentriciteter, e_{i,max} mod vægelementets forside og e_{i,min} mod bagsiden. Derfor undersøges to scenarier. Direkte virkende linjelast P_i virker med excentriciteten e_i, som herunder regnes e_{i,max}= e_{i,min} = e_i.

e_{max} = (P_0 \cdot e_0 + \sum (P_i \cdot e_{i,max})) / P_{tot}

e_{min} = (P_0 \cdot -e_0 + \sum (P_i \cdot e_{i,min})) / P_{tot}

Største numeriske excentricitet e anvendes:

e = \max \left( |e_{max} |, | e_{min} | \right)

Bemærk: Metoden er forsimplet idet vægtningen foretages ud fra resultanterne fra hver linjelast.

Forskydningskapacitet

Dels bestemmes kapacitet ved trykbrud i beton V_{Rd,max} og dels kapacitet af bøjler V_{Rd,s}.

Vridning inkluderes i kapacitetsberegningen, som beskrevet i afsnit 6.1.4 i Betonelementbyggeriers statik:

\frac{T_{Ed}}{T\_{Rd}} + \frac{V_{Ed}}{V_{Rd}} \leq 1 \Leftrightarrow  
V_{Ed} \leq \frac{V_{Rd} \cdot T_{Rd}}{V_{Rd} \cdot e + T_{Rd}}

idet T_{Ed} = V_{Ed} \cdot e

V_{Rd,max} beregnes med udtrykket i formel (6.9) i DS/EN 1992-1-1:

V_{Rd,max} = \frac{\alpha_{cw} \cdot b \cdot z \cdot \nu\_v \cdot f_{cd}}{\left( \cot\Theta + \frac{1}{\cot\Theta} \right)} 

\alpha_{cw} = 1 for ikke-forspændte bjælker ifølge 6.2.3(3) Note 3 i DS/EN 1992-1-1 DK NA.

Effektivitetsfaktor i forskydning ifølge formel (5.103 NA) i DS/EN 1992-1-1 DK NA:

\nu_v = 0,7 - \frac{f_{ck}}{200} 

V_{Rd,s} beregnes med udtrykket i formel (6.8) i DS/EN 1992-1-1:

V_{Rd,s} = frac{A\_{sw}}{2} z f\_{ywd} \cot\Theta 

Vridningskapaciteten beregnes med udtrykket beskrevet i afsnit 6.1.3 i Betonelementbyggeriers statik:

T_{Rd} = V_{l,Rd} (b-t_{ef}) = V_{v,Rd} (h-t_{ef}) = \min   
\left\lbrace \begin{array}{l}  
T_{Rd,max} \\  
T_{Rd,s} \\  
\end{array} \right. 

T_{Rd,max} = \frac{ t_{ef} \cdot A_k \cdot \nu_t \cdot f_{cd}}{\left( \frac{1}{\cot\Theta} + \cot\Theta \right)} 

T_{Rd,s} = \frac{A_{sw}}{s} \cdot A_k \cdot f_{ywd} \cdot \cot\Theta 

hvor

t_{ef} = \max   
\left\lbrace \begin{array}{l}  
\frac{A}{u} \\  
2 \cdot c' \\  
\end{array} \right. 

\frac{A}{u} = \frac{b \cdot h}{2 \cdot (b + h)} 

A_k = \left( b-t_{ef} \right) \left( h-t_{ef} \right)

Effektivitetsfaktor i vridning ifølge formel (5.104 NA) i DS/EN 1992-1-1 DK NA:

\nu_t = 0,7 \cdot \left( 0,7 - \frac{f_{ck}}{200} \right) = 0,7 \cdot \nu_v 

For trykbrud i beton er kapaciteten inkl. vridning:

V_{Rd,max}' = \frac{V_{Rd,max} \cdot T_{Rd,max}}{V_{Rd,max} \cdot e + T_{Rd,max}}

For trækkapacitet i bøjler er kapaciteten inkl. vridning:

V_{Rd,s}' = \frac{V_{Rd,s} \cdot T_{Rd,s}}{V_{Rd,s} \cdot e + T_{Rd,s}} 

I beregningerne bruges \cot\Theta = 2,0, hvilket er under den øvre grænseværdi på \cot\Theta = 2,5 ifølge formel (6.7a NA) i DS/EN 1992-1-1 DK NA.

Forankring af hovedarmering

Krav til forankring af hovedarmering ved bjælkeender beregnes ud fra forskydning og vridning, som beskrevet i Betonelementbyggeriers statik afsnit 6.1.5.

For ren forskydning beregnes forankringskraften for hovedjern i bunden af bjælken:

F_{td,V} = 0,5 \cdot V_{Ed} \cdot \cot\Theta 

For ren vridning beregnes forankringskraften for hovedjern i hhv. top og bund af bjælken:

F_{td,T} = 2 \cdot \max (F_{td,v} , F_{td,l}) 

hvor

F_{td,l} = \frac{T_{Ed}}{4 \cdot \left( b - t\_{ef} \right)} \cdot \cot\Theta 

F_{td,v} = \frac{T_{Ed}}{4 \cdot \left( h - t_{ef} \right)} \cdot \cot\Theta 

For kombineret forskydning og vridning bliver forankringskraften:

F_{td,bund} = F_{td,V} + F_{td,T} = 0,5 \cdot \cot\Theta + 2 \cdot \left( \frac{e \cdot V_{Ed}}{4 \cdot \left( \min(h, b) - t_{ef} \right)} \right) \cdot \cot\Theta 

idet

T_{Ed} = e \cdot V_{Ed}

I brandtilfældet reduceres bjælketværsnittet, betonstyrken og armeringsstyrken som beskrevet i Brand generelt. Excentriciteten forøges ved ensidig brandpåvirkning. Ellers anvendes samme formler som beskrevet.

Reduktion af tværsnit

\begin{array}{ll}  
b_{eff} = b - a_z                & \textrm{for brand på en side} \\  
b_{eff} = b - 2 \cdot a_z   & \textrm{for brand på begge sider} \\ 
h_{eff} = h - a_z                & \textrm{for brand på enten over- eller underside} \\
h_{eff} = h - 2 \cdot a_z   & \textrm{for brand på både over- og underside} \\
h_{eff} = h                         & \textrm{hvis over- og underside ikke er brandpåvirket} \\  
\end{array}

Reduktion af flydestyrke

Bøjlearmeringens flydestyrke reduceres som funktion af temperaturen, som bestemmes som en vægtet gennemsnits-bøjle-temperatur ud fra temperaturen i 10 punkter på bøjlen.

Der bestemmes både en temperatur for nederste halvdel og øverste halvdel. Den højeste af de to temperaturer anvendes.

Forøgelse af excentricitet

For ensidig brandpåvirkning forøges excentriciteten, e, med:

0,5 \cdot a_z ved brand på forsiden, og

-0,5 \cdot a_z ved brand på bagsiden.

Udnyttelsesgraden bestemmes, under hensyntagen til vridning.

Dels for trykbrud i beton som V_{Ed,max} / V_{Rd,max}'

hvor V_{Ed,max} er den numerisk største regningsmæssige forskydningskraft i bjælken.

Og dels for trækbrud i bøjlerne som V_{Ed,s} / V_{Rd,s}'

hvor V_{Ed,s} er den numerisk største regningsmæssige forskydningskraft i bjælken, hvor der ses bort fra forskydningskraften i hver ende af bjælken, samt omkring understøtninger, inden for en afstand af a_s = \cot\Theta \cdot z.